数学を探せ！
「雨粒とDNA」

雨粒または物体は重力によって下方に加速度運動を行う。その後、速度の増加に伴って加速度 $a$ が $0$ になるまで摩擦力が増大し、一定速度（終端速度） $v$ になる。簡単のために摩擦力の増大が速度 $v$ に比例するとすれば、$\mu$ を摩擦係数、$m$ を物質の質量、$g$ を重力加速度として、$ma=mg-\mu v=0$が成り立つ。

$ \begin{align} { ∴　$v=\frac{mg}{\mu} } \tag{1}\ \end{align} $

物体が半径 $r$ の球状の場合、

球の質量 $m$ は球の体積 $V$ に比例する。摩擦係数 $\mu$ の半径 $r$ に対する依存性は、半径 $r$ の大きさによって異なることがわかっているが、ここでは簡単のために球の表面積 $S$ 、すなわち$r^{2}$に比例するとすれば、

$ \begin{align} { m\propto V\propto r^{3}、 \mu\propto S\propto r^{2} より、 v\displaystyle \propto\frac{r^{3}}{r^{2}}=r } \tag{2}\ \end{align} $

ここで、$\propto$は比例記号である。
すなわち落下速度は、球の半径 $r$ に比例する。
実際は半径 $r$ の大きさによって摩擦力の半径 $r$ 依存性が変化するので、この依存性は変化するが、少なくとも半径 $r$ の増加関数となる。

物体が半径 $r$ で長さが $l$ の棒状の場合、

球の質量 $m$ は棒の体積 $V$ に比例し、摩擦係数 $\mu$ は棒の表面積 $S$ に比例すると考えられるので、

$m\propto V\propto l\cdot r^{2}$

$l\gg r$　と仮定すると、 $\mu\propto S\propto l\cdot r$

$ \begin{align} { ∴　v\displaystyle \propto\frac{l\cdot r^{2}}{l\cdot r}=r } \tag{3}\ \end{align} $

すなわち落下速度は、棒の半径に比例するが棒の長さには依存しない。

この場合は、電界からDNAに働く力が $qE$ なので、電場をかけて十分時間が経った後のDNAの速度 $v$ は次のようになる。

$v=\frac{qE}{\mu}$

ここで、$q$ はDNAの持つ電荷であり、$N$ に比例する。$\mu$ はDNAとゲルとのあいだの摩擦係数である。

N があまり大きくないとき、DNAは球状に丸まっており、$\mu \propto N^{2}$ がなりたつ。

$ \begin{align} { ∴　v \propto \frac{N}{N^{2}}=\frac{1}{N} } \tag{4}\ \end{align} $

DNAの速度はDNAの長さ $N$ に反比例する。

すなわち、DNAの長さ $N$ の減少関数となり、物体の落下運動の場合の増加関数と逆の依存性を示す。
これは、物体の落下運動の場合は摩擦が物体の表面のみに働くが、DNAの場合は球状に丸まっていても、その内部においてもDNA鎖とゲルの間で摩擦力が働くという違いがあることを反映していると考えられる。

$N$ が大きいとき、DNAは棒状に伸びており、$\mu \propto N$ が成り立つ。

$ \begin{align} { ∴　v \propto \frac{N}{N}=1 } \tag{5}\ \end{align} $

DNAの速度はDNAの長さ $N$ に依存しなくなる。

この場合には、パルスフィールド電界のもとでDNAは丸まった状態を保っており、$\mu \propto N^{2}$ が成り立つ。

$∴　v \propto \frac{N}{N^{2}}=\frac{1}{N}$

DNAの速度はDNAの長さ $N$ に反比例する。