数学を探せ！
「パターンに潜む数理」

$\begin{align} \tag{i}\ \end{align}$

$\displaystyle \begin{align} \cases{ \eqalign{ u_n^{s+1} &= \frac{m_u(u_n^s)+\delta \left(m_u(u_n^s)w_n^{s+1} +a \right)}{ 1+\delta \left\{ \left(w_n^{s+1}\right)^2 +a+1 \right\}} \cr w_n^{s+1} &= \frac {m_w(w_n^s)+\delta\left\{ m_u(u_n^s)\left( m_w(w_n^s)^2 +1\right) +b\ \right\}}{1+\delta \left(2m_u(u^s_n)+b\right)} } }\tag{ii}\\ \end{align} $

$$\displaystyle m_u(u_n^s)= \frac{u_{n+1}^{s}+u_{n-1}^{s}}{2}, m_w(w_n^s)=\frac{w_{n+3}^s+w_{n-3}^s}{2}$$

(ⅰ)が反応拡散系の一つで、ある化学反応を数理モデル化したGray-Scottモデルと呼ばれる連立の偏微分方程式です。$u, v$ はそれぞれ二種類の化学物質のある時刻におけるある場所の濃度を表しており、時間の変数 $t$、空間の変数 $x$ の関数で、$u(t, x), v(t, x)$ を表しています。また、$\frac {\partial u} {\partial t}$ や $\frac {\partial^2 u} {\partial x^2}$ はそれぞれ多変数の関数に対して $t$ に関する一階、 $x$ に関する二階の微分で偏微分と言います。この二つの方程式は二種類の化学物質の濃度の時間変化がどの様になっているかを表しています。赤い四角に囲まれた部分は、物質の拡散現象を表す項で拡散項と呼びます。一方、青い四角で囲まれた部分は二種類の物質の化学反応による効果を表す項で反応項と呼びます。そして、 $a, b, D_v$はパラメータです。このパラメータを変えることで様々なパターンが得られます。

(ⅱ)は(ⅰ)のGray-Scottモデルを離散化して得られた漸化式で、 $\delta$ は正のパラメータです。高校までだと、漸化式で求める数列の一般項 $a_n$ の添え字は、$n$ の一つだけですが、今回の場合は $u_n^s$ といったように添え字が $s, n$ の二つとなっており、複雑になっています。この漸化式を計算機に計算させた結果の一例が、3番の写真です。縦軸が時間に関する変数 $s$ 、横軸が空間に関する変数 $n$ に対応し、 $w$ の値を色で表した図となっています。

今回は、パターンが形成される様子を数理モデル化した偏微分方程式を計算機で計算し、現象がどうなっているかを観察することが出来ました。パターン形成に限らず、様々な現象を微分方程式で数理モデル化し、計算機で計算し現象の解明につなげることが出来ます。あなたはどんな現象を調べてみたいですか？