古代エジプトのユークリッド幾何学から始まる数学は、デカルト、 ニュートン、オイラー、そして非ユークリッド幾何学をもたらしたロバチェフスキー、ガウス、ガロアなどの偉大な数学者の業績によって19世紀にはほぼ現在の学問体系が築かれました。最先端の情報科学や量子力学も決して数学の成果なしには考えられません。学生時代から長年にわたり「多様体の幾何学」の難問に取り組んできた坪井俊教授の研究と学生への教育についてご紹介します。

研究の背景

幾何学の研究者になるまで

―古代エジプトに始まる幾何学の魅力―

私の専門分野は大きくいうと数学の「幾何学」ということになります。文系の学生の皆さんは幾何学といわれてもピンとこないかもしれませんが、図形や空間の性質について研究する数学の一分野のことです。

幾何学の面白さに魅了されたのは、中学校の数学の授業で習ったユークリッド幾何学が大きなきっかけでした。ユークリッド幾何学とは、簡単に言えば平面は平らで、直線はまっすぐで、平行線は交わらないというものです。紀元前300年頃、古代エジプトの哲学者であるエウクレイデス（英語ではユークリッド）の著書『原論』に基づく幾何学の体系で、19世紀に現代数学につながる非ユークリッド幾何学が登場するまで、なんと2000年以上も「唯一の幾何学」として数学者たちの研究基盤であり続けました。

中学生の数学では、いくつかの公理（理由なく正しいとする文章）をもとに命題を証明することがとても面白く感じられました。たとえば「三角形の内角の3本の二等分線が1点で交わる」「三角形の三辺の垂直二等分線が1点で交わる」。これらはすべて数学の論理で証明できるのです。数学のさまざまな課題の証明に親しんでいるうちに、証明問題を解いたときに得られる「わかった」喜びが好きになり、他の数学問題を解くのが楽しくなってきました。やがて自分の教科書だけでは飽き足らず、大学の教科書まで手を出すようになりました。数学の面白さは証明の方法や理解の筋道が多種多様にあって、複雑に思える問題も簡単に証明できたりすることもあります。そうした底知れぬ数学の魅力に、すっかり取り憑かれていったわけです。

―教員志望から研究者の道へ―

高校時代には物理学にも大いに興味がありましたが、自分の中で「まだまだ数学の面白さを究めていないはずだ」という思いがあり、大学での専攻はやはり幾何学にしました。ただ大学時代は研究者になるつもりはなく、教職課程を取って中学・高校の数学教師になろうと思っていました。自分自身が中高生時代に感じた数学の面白さを次の世代に「教える」仕事に意義を感じていたからです。 しかし大学4年生になった時、「まだまだ自分の理解は不完全だ」という思いが残り、大学院修士課程の2年間でさらなる研究と修士論文作成に取り組みました。以来、そのまま大学に留まり、曲線や曲面さらに多様体の幾何学をライフワークに研究者人生を歩んできました。

研究について

研究と教育

―「多様体」の構造と動きを捉える研究―

現代の幾何学では、二次元の三角形、多角体、三次元の多面体等の図形以外に曲面とそれを高い次元で考えた「多様体」というものが研究対象になります。

多様体という〝空間〟の中には様々な〝構造〟を考えることができます。その構造の性質と、構造を保つ変換の全体の性質（変換群といいます）とは対応しており、この「多様体の変換群」が私の研究対象です。いわばモノの性質とそれが〝動く〟という現象をどのように記述するかの探求です。

私たちが生きているこの世界、そして宇宙は曲面で構成された多様体そのものです。石や金属など硬いものは動かしても形が変わりません。ところが水のような液体は移動しながら刻々と形が変わっていきます。しかし体積はほとんど変わらないのです。形が変わらないという性質は2点を結ぶ線分の長さが変わらないということで「等長変換」で移動していることになり、水の流れは体積が変わらない「等積変換」で移動しているということになります。こうした変換全体が持つ「変換群」について、数学者たちの努力により多くのことがわかってきました。太陽などの恒星とその周囲を様々な力がかかりながら巡る惑星の関係も、実は変換群の考え方によって記述することができます。 しかし、まだまだ謎に包まれた領域があることも確かで、そうした謎の解明が私の何よりの楽しみです。もちろん簡単には解明できない謎ばかりですが、なんとか筋道を付けようと日々思考を巡らすことが私の生きがいとも言えます。

教育について

―文系の学生に数学を教えること―

「なぜ文系なのに数学をやらなくてはいけないの？」と思っている学生もいるかもしれませんが、数学的な思考法や議論に触れるチャンスは大学を卒業してしまうとなかなかありません。いわば、文系の学生にとって大学時代が数学に触れる最後のチャンスなのです。そんなチャンスをぜひ生かしていただき、数学的思考で人生をより深く味わっていただければ……、それが私の願いです。 2021年度からは数理工学科で専門科目も担当します。そちらも大いに楽しみではありますが、これからも文系の学生に数学の面白さを伝える試みは続けていきたいと思っています。教えることは難しいけれど、本当に楽しい。そして自分が面白いと思っている数学の魅力の一端でも、若い学生が理解してくれたと実感できたときの喜びは何物にも代えがたいと思っています。 数理工学科で学生を教えるにあたって、自分に課しているテーマは「数学の基礎理論と応用分野のバランスをうまく伝えてあげられるようにすること」です。応用分野の面白さや広がりをきちんと理解するためには、しっかりした理論、すなわち基礎の修得が必要不可欠です。

なぜ基礎にそれほどこだわるかと言えば、現代はますます世の中の変化のスピードが速まっているからです。最新の知識やテクノロジーも5年経てばもう世代交代しかねない激動の時代だからこそ、基礎の重要性をあらためて訴えていきたいと考えています。そのためには何事にも繰り返し、一生懸命取り組まねばなりません。大学生には十分その時間があり、気力・体力が備わっているはずです。もちろん学問だけではなく、課外活動や社会活動、趣味、友だち付き合いなど、4年間の大学生活の中では何事にも一生懸命取り組んでほしいと思います。その経験はきっとその後になって役に立ちます。

今後の展望

数学について考えることは生きること

―数学と人間との関わりを探究中―

先ほどお話しした「平面幾何と数学のあゆみ」の授業をきっかけに、自分が長らく取り組んできた数学の歴史についてあらためて調べていくと、これまで見えなかった数学と人間との関わりがいろいろと見えてきました。すると芋づる式にわからないことが増えてきて、今はそれを調べることが私の楽しみの一つでもあります。

たとえば、エジプトのパピルス、ヨーロッパの羊皮紙、中国で生まれた植物などの繊維を、薄く平らにのばして乾かした紙、さらに近代のパルプ紙まで、数学の知識を伝える媒体＝紙の歴史から、世界史的な視野で数学知識の伝播を考えることができます。十進法の位取りで使う「0（ゼロ）」はインドで使われ始め、アラビア経由でヨーロッパに伝わりました。では、それはいったい何に書かれて伝えられたのでしょうか？さまざまな史料をあたってみたところ、インドではふだんはモノを書くのに粘土板や蝋（ロウ）板が使われ、後に残す記録のためにはヤシの葉を使っていたようなのです。

西遊記の物語では孫悟空らを従えた三蔵法師が天竺（現在のインド）から、ありがたい経典を持ち帰ります。私たちのイメージですと紙の巻物を思い浮かべますが、現実の三蔵法師が持ち帰った経典はどうやらヤシの葉に書かれていたのではないかと私は考えています。実際、20世紀初頭、京都の龍谷大学・大谷探検隊がシルクロードの敦煌で発掘した「貝葉経（ばいようきょう）」という経典はヤシの葉に書かれていました。 そのほか現代の量子力学にもつながる「複素数」の発見など、数学にまつわる歴史を調べていると、止めどなく好奇心が刺激されます。あまりにもたくさんのエピソードがありすぎて授業では調べたことのほんの一部しか紹介できないのが残念ですが、これからも興味を持って調べていきたいと思っています。

人となり

―仕事も、趣味も「数学」―

よく趣味について聞かれるのですが、私の場合、趣味も数学かもしれません。休日や空いた時間でも、ふと気がつくと研究上の課題について考えています。 若い頃は登山やスキーなどを楽しんでいました。もう長いこと行っていませんが、そうした話を聞くと、今でもちょっと心が動きます。スポーツ観戦も好きです。生まれは広島で小学生の頃までそちらで育ちましたから、プロ野球で贔屓のチームは現在も広島カープです。コロナ禍の中でなかなか外出もままなりませんが、運動不足解消のためにできるだけ散歩などで出歩くようにはしています。 でもやはり、山やスポーツよりも、私にとっては数学について考えることのほうが楽しいのです。だからふだんから「休み」という感覚があまりありません。仕事も、楽しみもひと連なりのライフスタイルなのです。数学にはまだまだ謎が多すぎます。決して飽きることなどありません。

―読者へのメッセージ―

数学は紙とペンさえあれば、ゼロからスタートできる学問です。そして何もないところから、何かを生み出していく思考法を学べる学問です。だから時代がどんなに変わっても、数学の基礎さえ身につけていれば、さまざまな新たな課題に対処する方法を編み出すことができるでしょう。 私が授業を通して若い学生たちに教えたいことは、何事もいい加減にしない生き方です。できれば、数学を学ぶことを通してそれを学んでいただければ、私にとってこれ以上の喜びはありません。私自身も研究者としてまだまだ挑戦したいテーマがいくつもあります。いつも自分が好きなことに一生懸命なれる……、それこそが人生の喜びではないでしょうか。

取材日：2021年3月